1. Fie ABCD un patrulater concav. Bisectoarele interioare ale unghiurilor A si B se intersecteaza in M, iar bisectoarele interioare ale unghiurilor C si D se intersecteaza in P.
Daca {Q}= DP ∩ AM, {N}= BM ∩ CD sa se arate ca patrulaterul MNPQ este inscriptibil.
Indicatie : Folositi cu succes unghiuri diverse.
2. Se considera patrulaterul concav ABCD cu AC_I_BD si {O} =AC∩BD. Fie M proectia lui O pe AB, N proectia lui O pe BC, P proectia lui O pe CD, Q proectia lui O pe AD.
Aratati ca : a) MNPQ este inscriptibil
b) BD, MQ, NP sunt concurente; AC, MN,PQ sunt concurente.
Indicatie : a) Desenati cu instrumente o figura corecta si aratati ca suma a doua unghiuri opuse este de 180º, folosind cele 4 patrulatere inscriptibile ce apar.
b) Cea mai scurta demonstratie este cu axele radicale a 3 cercuri
3. Se considera patrulaterul inscriptibil ABCD si fie M proectia lui A pe latura CD, N proectia lui B pe latura CD, P proectia lui C pe latura AB, Q proectia lui D pe latura AB.
a) Aratati ca MNPQ este patrulater inscriptibil.
b) Daca, in plus, {S} = AC ∩ BD, {T} = MP ∩ NQ, E este mijlocul lui AC, F mijlocul lui BD, aratati ca EF_I_ST.
Indicatie : a) Muncitoreste (folosind unghiuri)
b) Cea mai scurta demonstratie se face folosind centre radicale.
Legenda: _I_ = perpendicular